朱一文，中山大学哲学系暨逻辑与认知研究所教授。

  [摘 要]  现代科学史学科的先驱萨顿把数学史视作科学史的骨架和核心，但又指出在实际的研究和教学中，数学史并非科学史不可分割的一部分。萨顿观点的历史和理论根源在于：除了天文学，其他古代科学似乎都与数学无关；17世纪现代科学兴起之后，通过“自然数学化”的过程，更多科学与数学发生了联系。然而，这些看法实际误用了19世纪下半叶才产生的纯数学与应用数学的分野，从而把数学理解为工具、把科学理解为数学的应用。其实，非数学活动中产生的数学知识具有相对的独立性，而并非简单地应用数学活动中的知识。萨顿之后，现代科学史研究逐渐转向关心历史、文化、社会等因素的外史研究，从而在综合性的历史学与科学之间站在了靠近历史学这边；现代数学史研究虽历经反辉格解释、实作转向等变化，但终究站在历史学与数学中间。因此，发展路径和取向的差异进一步导致了数学史研究与科学史研究渐行渐远。其实，以数学知识的多样性为研究视角，以数学实作为分析工具，数学史就不仅与科学史，甚至与其他一般历史都关系密切。从理论上看，澄清“纯数学与应用数学分野具有普适性”的误解也有助于推进“数学的发展与其实用性的关系”“数学可应用于科学的原因”两个重要议题的研究工作。

  [关键词]  数学史 科学史 萨顿 数学实作 非数学活动

数学史与科学史关系这一议题实际涉及对整个科学史或者文明史的理解。现代科学史学科的先驱萨顿（George Sarton，1884—1956）一方面认为数学史应该是整个科学史的核心，离开了数学史的科学史就失去了支撑其他部分的骨架；另一方面又指出在现实的情况下数学史与其他科学史有本质不同，数学史不是科学史的一部分，而且教授科学史的教师往往忽视数学史。[１]萨顿这里谈到了两种情况：说数学史是科学史的骨架和核心，这是从学理上讲的理想状况；而说数学史不是科学史的一部分，这是就实际研究情况而论的。[２]近年来，不少学者从实际研究层面探讨了数学史与科学史的关系。[３]格拉坦吉尼斯（Ivor Grattan-Guinness）从多方面分析了科学史研究中缺失数学史的情况和原因，并提出科学史应该关心数学史。[４]加里（Jeremy Gary）指出现代数学史研究与现代科学史研究是独立展开的，而要研究数学家实际怎么做、现代数学的抽象性来源，可以把两者结合起来。[５]曼恩（Tony Mann）分析了英国数学史研究的多样性，进而指出这一多样性不仅对数学史，而且对科学史有影响，并且近年来研究科学史中的数学实作（mathematical practice）是学界的显著特征。[６]亚历山大（Amir Alexander）指出近年来学界不把数学看作科学的静态骨架，而是将其视作与科学一样的动态领域，这一路线既推进了数学的文化研究，又重建了数学史与科学史的关系。[７]斋藤文一（Fumikazu Saito）也认为数学史研究应该采取科学史的语境化研究进路，并关注数学实作。[８]这些研究的共同点是都认为数学史应该是科学史的一部分，并且研究数学实作是将两者结合的有效研究进路。

十余年来，笔者在中山大学为本科生、研究生开设《数学史》《科学史》课程，又在研究中积累了对于两者关系的认识，深感此议题之重要，但又讨论未尽。笔者认为如数学史与数学哲学的关系一样，数学实作确实是数学史与科学史结合的途径，但这一研究路线的实施其实既依赖于对数学史若干误解的澄清，又依赖于对数学史新研究方法和框架的使用，而且与若干理论议题密切相关。[９]故撰此文，从学理和实际研究状况两方面进一步分析数学史与科学史之关系，以推进学界之研究。

一、既往研究中数学与科学的关系

萨顿所谓数学史与科学史的两种情况实际有更深的历史与理论根源。[１０]一方面，萨顿认为所谓的数学史并不是科学史不可分割的一部分的观念，是在惠威尔意义上（in the Whewellian sense）形成的。惠威尔（William Whewell，1794—1866）是19世纪英国科学哲学和科学史家。由于惠威尔认为数学是演绎而非归纳的，故在其著作《归纳科学的历史》中直接排除了数学史。[１１]该著作所论及的归纳科学，主要就是希腊时期的力学、流体静力学、天文学以及之后的物理学、炼金术、化学等学科。因此，格拉坦吉尼斯认为所谓惠威尔意义上，就是说把科学史理解成各分科史的总和（the sum of the histories of special sciences），从而数学史并非科学史不可分割的骨架和核心。[１２]在惠威尔思想的基础上，萨顿和格拉坦吉尼斯都提到了实际科学史研究和教学中缺失数学史的情况，格拉坦吉尼斯更把原因直接归结到数学教育上。[１３]另一方面，萨顿认为数学史是科学史的骨架与核心，是就数学是科学的内核而言的，他认为数学给了科学无法取代的统一性和凝聚性。[１４]格拉坦吉尼斯进一步明确说：在历史中，思想史是重要的；在思想史中，科学是重要的；在科学中，物理科学是重要的；在物理学科中，数学又是重要的。因此，在历史发展中，数学几乎是知识的顶点。[１５]这就是把现代数学与科学的关系（后者以前者为基础和核心）延伸到数学史与科学史的关系上。

由此可见，萨顿的两种数学史与科学史的关系是基于两种对数学与科学关系的理解。当从惠威尔的角度认为数学与其他科学无关时，那么数学史就不是科学史必需的一部分；当从现代数理科学的角度认为数学是其他科学的基础时，那么数学史就是科学史的核心。萨顿的看法无疑受到20世纪初科学发展的影响，由此认为数学应该是所有科学的基础（即暗示数学化是所有科学发展的方向），数学史亦是科学史的核心，而由于研究和教学中的缺陷才使得实际状况没有达到这一理想程度。

需要注意的是，萨顿时期的现代科学史研究刚刚展开，因此其看法受制于当时的时代而未尽完善。萨顿之后，科学史研究蓬勃发展，使得今人获得了对于科学史更深的理解。根据这些研究，如果把17世纪以来的科学称作现代科学，把在此之前的科学称作古代科学，那么两者与数学的关系大体上就对应了萨顿所说的两种情况，即古代科学中主要是天文学与数学有关，而现代科学普遍以数学为基础。人类最早的两个文明——古埃及和美索不达米亚文明中，和数学关系最密切的就是与农业生产密切相关的天文学。20世纪50年代，诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer，1899—1990）的《上古时代的精密科学》（1957）着重论述了古埃及和美索不达米亚的数学与天文学，并将两者合称为精密科学。[１６]20世纪20年代，希斯（Thomas Heath，1861—1940）的《希腊数学史》（1921）中指出古希腊的数学指几何、算术、天文和音乐四项内容，并给出它们之间的演变关系。[１７]这些内容中属于自然科学的也仅有天文学，而亚里士多德（Aristotle，384—322 BCE.）的物理学等学科并不使用数学。中国自古以来天算不分家。20世纪30年代，李俨（1892—1963）、钱宝琮（1892—1974）的数学史著作均提及也仅提及天文学内容。[１８]印度数学早期核心文献《绳法经》（Śulbasūtras）是吠陀经典，之后的核心人物[如阿耶波多（Āryabhaṭa，476—550）、婆罗摩笈多（Brahmagupta，598—668）等]和文献均与天文学有关。[１９]融合继承东西方文明的伊斯兰科学中与数学有关的部分主要是运用于天文学的三角学与球面几何学。[２０]由此可见，萨顿之后的科学史研究基本揭示出在五个主要古代文明（即古埃及文明、美索不达米亚文明与其后的古希腊文明为一组，古代印度文明与中国文明为另一组）及之后兴起的伊斯兰文明中，数学与天文学都有密切关系。由于这些研究往往采取了“纯数学—应用数学”的分野，因此将天文学视作数学的应用，是以数学为基础的，[２１]而在此以外的其他科学则往往与数学无关。

这一情形与17世纪以来兴起的现代科学有根本性的不同。学界揭示出现代科学经历了所谓“自然数学化”的过程。[２２]自然数学化不仅是把数学应用到科学上去，更是一种形而上学的本体论预设和世界观的转变。这正如现代科学的开创性人物伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）在《试金者》（II Saggiatore，1623）一书中所认为的：自然是由数学语言写就的，它的字母是三角形、圆形和其他几何图形。[２３]自然数学化亦被认为是所谓科学革命的主线，而其顶点就是牛顿（Isaac Newton，1642—1727）的工作，最终通过万有引力理论把原先分开的物理学和天文学合二为一，从而也实现了物理学的数学化。[２４]自然数学化使得数学与科学产生了前所未有的密切关系，由此数学史方逐渐成为萨顿意义上科学史的骨架与核心。此外必须指出的是，现代数学其实与古代数学有根本的区别，而自然数学化使用的是现代数学。各古代文明的数学都是以物质工具为基础的实物数学，[２５]文艺复兴时期欧洲数学完成了符号化和文本化的进程，从而顺利地通向了现代数学之路。[２６]有学者认为是否符号化代表了抽象程度的高低，[２７]这一看法其实不够准确。从数学哲学的角度看，不同的数学表征（物质工具、图像、文字、符号等）可以抓住不同的数学内容。[２８]不同数学表征之间的差别可以用“表征粒度”（representational granularity）的高低来刻画（即近似于今日之图像分辨率）。[２９]符号无疑具有更好的表征粒度，因此可以更好地抓住自然数学化意义上的物理实在。

18世纪的数学家和科学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）发展了微积分，并将之运用于科学，从而使得数学分析成为一个新的独立数学领域，并且居于数学和科学体系中的核心位置。[３０]其后拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813）的《分析力学》（Mécanique analytique，1788）和拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749—1827）的《宇宙系浅说》（Exposition du système du monde，1796）都把力学与宇宙学视作数学分析的分支。[３１]因此，这些被数学化的科学领域都成为数学的一部分。这一历史发展集中反映在蒙特卡（Jean-Étienne Montucla，1725—1799）所撰写的《数学史》（Histoire des Mathématiques，1758）之中。该著作把光学、力学、天文学等被数学化的学科都纳入其中，实际上相当于从数学的角度撰写了科学史。[３２]在此意义上，数学史与科学史已经合二为一。19世纪以后，更多的学科（如化学、生物学）被数学化；与此同时，纯数学与应用数学的分野开始出现，那些被数学化的学科往往被视作数学的应用，数学史与科学史的紧密关系范围逐渐扩大。[３３]这也就是萨顿理解两者关系的历史背景，于是数学史作为科学史的骨架和核心成为历史发展的应有之意。

综上所述，从科学史的宏大叙事来看，数学与科学的关系并非一成不变，而是有一个逐渐密切的过程，由此数学史与科学史的关系也逐渐密切。这就是萨顿对两者关系两种理解的历史和理论根源。但在实际的情况下，数学史研究与科学史研究却往往是分离的。其原因除了萨顿提到的数学太难，或格拉坦吉尼斯认为的历史学家害怕数学、数学教育的不足之外，实际还有对数学应用性的误解。19世纪下半叶开始出现纯数学与应用数学的分野，这直接影响到萨顿及其同时代学者对科学的理解与现代科学史的研究。一旦把数学理解为应用于科学的工具，那么作为工具书的数学史就可独立撰写和研究（如古代数学史与科学史）；即便对于已经数学化的科学，数学史与科学史也仅是元素与合集而非互相融合的关系（如现代数学史与科学史），故数学史也就不必是科学史不可分割的骨架和核心。[３４]这些因素共同导致了数学史与科学史的理想与现实关系之间的差距，并且这种差距在今天实际的研究和教学中仍然存在。

二、数学史研究与科学史研究的关系

亚历山大认为萨顿之后，当科学史研究开始探索科学的文化根源而非理性结构时，数学史研究就开始被边缘化并最终被排除在科学史之外。[３５]格拉坦吉尼斯则把数学史研究称之为“少数人学科的经典案例”（a classical example of a ghetto subject）：对于历史学家来说数学太多了，但对于数学家来说历史太多了。[３６]这些看法涉及萨顿之后科学史研究与数学史研究的发展，其中蕴含对于“数学”认识的观念变化，有必要对此做进一步分析。

萨顿把科学史（包括数学史）理解为人类历史中唯一累积进步的历史，[３７]这即所谓实证主义的成就史或者辉格史，其缺陷在于忽视了科学史上的失败案例。[３８]之后，以科瓦雷（Alexandre Koyré，1892—1964）为代表的科学思想史路线，用概念分析的方法研究科学思想的发展脉络，弥补了成就史不关注“失败”的缺陷。[３９]1931年，在伦敦举行的第2届国际科学史大会上，苏联学者赫森（Boris Hessen，1893—1936）发表了论文《牛顿〈原理〉的社会经济根源》，开创了以马克思理论研究科学史的先河。默顿（Robert Merton，1910—2003）的《十七世纪英国的科学、技术与社会》（1938）引领了科学社会史的风气，开始关注实证成就史、思想史等较少影响科学发展的外部因素。库恩（Thomas Kuhn，1922—1996）的《科学革命的结构》（1962）提出范式（paradigm）的概念，推进了社会史研究路线；又把科学史与科学哲学结合起来，揭示了原先科学史研究中本体论承诺的问题，推动了反辉格史、知识建构论等方向的发展。夏平（Steven Shapin）和谢弗（Simon Schaffer）的《利维坦和空气泵》（1985）意图消解影响科学发展的内部和外部因素之界限。20世纪70年代从历史、哲学、社会学等多个领域共同兴起的实作转向（The Practice Turn）最终波及科学史研究，又推动了物质工具、科学仪器及其实作、视觉、图像与文本文化等方面研究取向的发展。[４０]总体而言，萨顿之后的科学史研究逐渐由内史走向外史，以至于在2013年英国曼彻斯特举办的第24届国际科学史大会上，张夏硕（Hasok Chang）提出让科学回归科学史，并指出没有科学的科学史是不完整的，将会被淘汰而并入综合性的历史学之中。[４１]

萨顿及其之后一段时间内的数学史研究确实都是实证主义的辉格史，其本质是把古代数学定位为现代数学的低级阶段。[４２]诺伊格鲍尔的《上古时代的精密科学》就是属于这一研究路线的作品。1975年，温古鲁（Sabetai Unguru）撰文批评学界对于古希腊数学的现代代数学解释，[４３]在数学史界引起极大的争论。之后，数学史研究中的反辉格倾向愈演愈烈，逐渐波及自古以来所有地区和时代的研究领域。美索不达米亚数学史家罗伯森（Eleanor Robson）认为辉格史的本质是采取数学柏拉图主义立场，即历史学家从历史记录中甄别出“柏拉图的数学对象”，并且用今天的数学术语进行描述。在此意义上，数学家是发现数学真理，而数学史家则是发现历史记录中的对应部分。罗伯森进而指出20世纪50年代美索不达米亚数学史研究所遇到的问题是：“一旦解释被做出了，即古代文献被用现代符号重写之后，就没有任何可说的了。这个领域（即巴比伦数学史研究）便停滞了几十年。”[４４]古埃及数学史家伊姆豪森（Annette Imhausen）则认为不应该只有一种数学的柏拉图主义立场。[４５]20世纪70年代兴起的实作转向也波及数学史领域。林力娜（Karine Chemla）在中国古代数学史研究中把数学实作作为研究数学史的有力工具。[４６]泡芙克（Kim Plofker）的印度数学史研究和内兹（Reviel Netz）的古希腊数学史研究也有类似特点。[４７]笔者也以数学实作作为工具研究中国古代筹算以及儒家经典文献中的数学知识。[４８]2021年，论文集《数学史中的反时代性问题：关于数学文本的历史解释论文集》出版，标志着数学史已经从反辉格倾向发展到反时代性。[４９]由此可见，数学史家不再单项地接受数学哲学某一理论的影响，而是去思考“现代数学的解释限度”“是否只有一种数学”等哲学问题。

综上所述，数学史研究与科学史研究两者的发展具有一定程度的同步性（如都有反辉格倾向、都受到实作转向的影响等），而并非如亚历山大等学者认为的，在科学史研究转向外史研究时，数学史研究缺席了。其实，两学关系疏远的根本原因在于：科学史研究走向外史的发展使其逐渐丢掉了科学。既然科学史与科学都无关了，又如何能期望它与数学或数学史有关呢？与之相比，数学史研究尽管也有外史倾向，但却从未丢掉数学。因此，格拉坦吉尼斯认为数学史“对于历史学家来说数学太多了，但对于数学家来说历史太多了”，这实际上恰恰体现了数学史研究的独特性——它既不是综合性历史学的一部分，也不是数学的一部分，数学史研究站在了历史学与数学（或外史与内史）中间。然而，缺少了科学的科学史研究既有被归入综合历史学的危险，又可能会因为与科学无关而失去其本质。换言之，在历史学与科学（或外史与内史）之间，科学史研究太靠近历史学（或外史）了。这样我们也就可以理解以往学者融合数学史与科学史的建议：加里、斋藤文一都呼吁以数学实作联系两学，亚历山大认为要把数学看作一个动态过程，斋藤文一则认为要语境化数学史。这些建议或者把科学史往科学（或内史）方向偏一点（以数学实作为联系两者的纽带），或者让数学史往历史学（或外史）方向偏一点（数学社会史），从而达到调整发展步调不一致的两学的目的。

笔者认为，由于以往数学史和科学史研究大多误用了“纯数学—应用数学”的分野，因此要使得两学融合，除了可以以“数学实作”为纽带之外，还可以采取基于数学知识多样性角度的“非数学活动—数学活动”的分析框架，并从数学实作工具和数学问题类型两方面刻画不同的数学知识和传统。[５０]从现有数学史研究看，我们知道历史上数学的发展存在多种倾向，如古希腊重几何的演绎倾向，中国等东方数学重代数的算法倾向。由此推论，人类许多活动都有助于探索数学知识，但不同活动探索的是数学实在的不同方面。这一观点实际与数学实在论或反实在论都可以并行不悖。[５１]如果认为存在唯一的宇宙本体实在的数学世界，那么人类的不同活动可以探索这一数学世界的不同侧面；[５２]而如果认为不存在统一的数学世界，那么无论数学是人为的产物还是存在多个数学世界，我们都可以认为不同活动探索的是多种世界里的多样数学知识。[５３]以下笔者以中国古代数学史、天文学史、经学史为例，说明如何在这一数学新理解的基础上，以“非数学活动—数学活动”为分析框架，实现数学史与科学史的融合。

既往研究虽然认为诸古代文明的天文学都与数学有关，但基本都认为是把数学应用于天文学。按照对数学的新理解，天文学中发展和用到的数学未必与数学活动中的相同，这一看法在笔者的研究中获得了印证。虽然中国古代数学和天文学都使用算筹，但两者用法和意义不同。在数学活动中，算筹是代表接近于抽象的数（即不带单位的数），而在天文历算中，算筹代表的是以“筭”为单位的数。[５４]而且由于天文历算的计算量很大，需要用到的算筹数量远大于数学活动的需求，因此其计算往往不像传统算学那样需要考虑算法的简约。[５５]此外，中国古代数学文献采取的经典数学问题的形式，包含“问”（问题）、“答”（答案）和“术”（算法）三部分。[５６]但中国古代天文学由于涉及王朝正统性等因素，为了保持其知识的私密性，一般不把数学问题明确写出（如历代天文律历志），因此采取了数学隐题的文本形式。由于数学实作的物质工具和发展数学的文本语境都不尽相同，故中国古代数学与天文学形成了十分接近但又不尽相同的算法传统，并且这两个传统之间存在着相互作用。[５７]沿此研究路线，中国数学史与天文学史就已经融合在一起了。很明显，该路线也可以在其他古代文明中尝试。[５８]更进一步来说，所谓非数学活动甚至可以不限于科学活动，而扩展到人类开展的任何活动。同样以中国数学史为例，历代学者在注解儒家经典时都会用到数学，以往学界对之几乎没有研究，很大程度上预设儒家就是使用以《九章算术》为代表的传统算学的。然而，笔者运用对数学的新理解及其分析框架，揭示出历代儒家发展出了独立的、与传统算学不同的算法传统。儒家算法传统的特征在于不使用算筹，对数和图采取运作性（operational）理解而非结构性（structural）认识，以文字进行计算和推理，采取数学隐题的文本形式且负载于特定的篇章之下。[５９]笔者进而以算学与经学的视角，重新梳理该算法传统的兴起、发展与衰落之全过程，并揭示这一传统与礼学、易学、西学、考据学之互动，由此完成的中国数学新史实现了中国数学史与经学史的融合。[６０]

总之，按照对数学的新理解，包括科学活动在内的诸多非数学活动都不一定是应用数学活动中产生的知识，而是可能产生相对独立的数学知识。非数学活动与数学活动中产生的知识存在着由于政治、历史、社会、文化等因素引发的互动。以此为研究路径，不仅可以弥补数学史与科学史的割裂，消解两学中都存在的内史与外史的对立，而且可以同时扩展两学的研究范围，实现两学的真正融合（并非一方为另一方的工具书），从而有助于揭示数学与科学在何种程度上可以作为人类现代文明的基础。

三、结语：数学史与科学史关系的理论意义

综上所述，我们从全历史的角度重述数学史与科学史的关系。基于现有的研究，古代数学仅与天文学等少数学科有关，在惠威尔的意义上看，科学史是各分科史的合集，因而数学史并非科学史不可分割的一部分。17世纪以来，在现代科学兴起的过程中，产生了所谓“自然科学化”的过程，许多自然科学都逐渐被数学化，于是数学史成为科学史的骨架与核心。18世纪，随着欧拉、拉格朗日、拉普拉斯等人工作的展开，数学分析成为数学的核心，而力学、宇宙学等都被认为是数学分析的一部分。19世纪下半叶，纯数学与应用数学的分野逐渐形成，那些被数学化的学科逐渐被理解为数学的应用。20世纪初，萨顿开创现代科学史研究，其核心理念认同数学史是科学史的骨架与核心，但在现实研究和教学中，由于科学被理解为数学的应用，作为工具的数学史仍然并非科学史的一部分。一方面，20世纪的科学史研究历经实证成就史、思想史、社会史、科学哲学路线、反辉格史、知识建构论、实作转向等发展阶段，科学史逐渐外史化，失去了其立身根本的科学，即在综合性的历史学和科学、外史和内史之间，科学史研究偏向历史学和外史。另一方面，20世纪的数学史研究也历经了实证成就史、反辉格史、实作转向等变化，尽管也有外史的发展倾向，但在历史学与数学、外史与内史之间，数学史研究始终站在两者中间。因此，丢掉了科学的科学史研究就更不可能与数学史研究相关。基于此，学者们给出的两学融合的方法，或者让科学史走向科学或数学，或者让数学史走向历史学。

在以上分析的基础上，可以看出对“纯数学—应用数学”分野的误用实际对两学的关系影响深远。因此，笔者提出扩展对数学的理解，即把数学理解为各种活动产生的数学知识的合集，从而包括科学在内的其他非数学活动中的数学知识就不是对数学活动中数学知识的应用，两类数学知识相对独立而又互动关联。我们可以从数学实作的工具和数学问题的文本形式两方面来刻画不同活动中的数学知识和传统。在此分析框架内，包括科学活动在内的人类所有活动都可能独立产生数学知识，与数学活动产生的数学知识一道构成数学的多样性。如果这一研究计划彻底实现，那么数学史与科学史（甚至其他历史）都可以实现融合，而数学史会成为真正的骨架与核心。

克洛（Michael J. Crowe）以西方数学史和现代数学史为例，提出关于数学及其历史的十大误解。[６１]笔者考虑到包括中国在内的非西方文明的数学史，又增列“历史上有三次数学危机”“数系的扩展代表着数学的进步”“西方数学是现代数学”等三条误解。[６２]从本文的研究来看，认为“纯数学—应用数学的分野具有普适性”也是一大误解。该误解不仅影响到对数学史与科学史关系的理解和研究，而且还影响到数学史和数学哲学领域的另外两个重要理论议题。

其一，由于对数学作工具性的理解，把其他活动中的数学知识理解为纯数学的应用，那么就自然认为数学发展的重要动力主要来自其实用性，而失去了实用性的数学知识必然发展受阻。此处典型的说法来自中国数学史家李俨、杜石然对明代数学衰落的评论。他们直接说：“为什么会产生这种现象（即宋元数学知识在明代失传）呢？原因是很多的。其中最主要的原因就是这种发展脱离了当时社会的实际需要。……脱离了社会生产实践的需要，其内容又都是艰深不易了解，这就构成了这些成果失传的主要原因。”[６３]但其实明代数学衰落的原因与朱元璋晚年废除国家算学教育制度、元末战争与靖难之役、算学与理学的互动、筹算的衰退与珠算的兴起等多个因素有关，而失去实用性只是其中一个比较不重要的因素。[６４]事实上，数学知识的传承主要受到学脉和教育制度的影响，而数学知识的发现与创造则主要取决于思想的自由度及不同思想之间的互动。

其二，一些数学哲学家认为“数学最迷人的特性之一是它可应用于经验科学”，进而“从数学对科学是不可或缺的这个相当明显但似乎是无可争议的事实出发”，提出解决数学应用性问题（即数学为何可以应用于科学）的“不可或缺论证”。[６５]该（蒯因—普特南）论证认为：“我们应该具有所有并且只有那些对我们最佳的科学理论是不可或缺的实体的本体论承诺，数学实体对我们最佳的科学理论是不可或缺的，因此我们应该具有数学实体的本体论承诺。”[６６]这一论证的出发点即“数学对科学是不可或缺的”这一事实是有问题的。一方面，数学家构想出来的大量数学理论是没有应用的；[６７]另一方面，一些经验科学的发展更依赖于实验，而非数学。[６８]根据前文的分析，如果对数学采取多样性的新理解，由于该理解可以与各种版本的实在论与反实在论并行不悖，那么本体论承诺就不是必须的。另外，数学与科学之间的关系并非前者简单应用于后者。从本文来看，两者的关系及其历史远比我们之前认为的复杂。

注释  

[１] George Sarton, The Study of the History of Mathematics, New York: Dover Publications, 1936, p.4.

[２]由此可见，萨顿充分认识到了数学史与科学史的复杂性，而并非如一些学者所认为的简单把数学史视作科学史的一部分。参见Amir Alexander, “The Skeleton in the Closet. Should Historians of Science Care about the History of Mathematics?”, ISIS, vol.102, no.3, 2011, pp.475-480。

[３] 2011年，国际科学史界的旗舰刊物ISIS特设焦点（即Focus）专题《数学史与科学史》，发表了六篇文章讨论两者关系。

[４] Ivor Grattan-Guinness, “Does History of Science Treat of The History of Science?”, The Case of Mathematics. History of Science, vol.28, no.2, 1990, pp.149-173.

[５] Jeremy Gray, “History of Mathematics and History of Science Reunited?”, ISIS, vol.102, no.3, 2011, pp.511-517.

[６] Tony Mann, “History of Mathematicsand History of Science”, ISIS, vol.102, no.3, 2011, pp.518-526.

[７] Amir Alexander, “The Skeleton in the Closet. Should Historians of Science Care about the History of Mathematics?”, ISIS, vol.102, no.3, 2011, pp.475-480.

[８] Fumikazu Saito, “History of Mathematics and History of Science: Some Remarks Concerning Contextual Framework”, Educação Matemática Pesquisa, vol.14, no.3, 2012, pp.363-385.

[９]参见笔者的四篇文章，分别是朱一文：《再论数学史与数学哲学的关系》，《自然辩证法研究》2019年第11期；《史料与方法：中国数学史研究的新思考》，《自然辩证法通讯》2020年第3期；“How Do We Understand Mathematical Practices in Non-mathematical Fields? Reflections Inspired by Cases from 12th and 13th Century China”, Historia Mathematica, vol.52, 2020, pp.1-25；《关于数学史的三大误解》，《自然辩证法研究》2022年第11期。

[１０] 此处所谓的“历史与理论根源”是指：萨顿的研究一方面受到19世纪末20世纪初对数学和科学普遍理解的观念影响，另一方面又受到当时刚刚开展的数学史研究和科学史研究的影响。

[１１] William Wewell, History of the Inductive Sciences, New York: D. Appleton and Company, 1975, p.53.

[１２] Ivor Grattan-Guinness, “Does History of Science Treat of The History of Science?”, The Case of Mathematics. History of Science, vol.28, no.2, 1990, p.153.

[１３] Ivor Grattan-Guinness, “Does History of Science Treat of The History of Science?”, The Case of Mathematics. History of Science, vol.28, no.2, 1990, pp.155-158.

[１４] George Sarton, The Study of the History of Mathematics, New York: Dover Publications, 1936, p.4.

[１５] Ivor Grattan-Guinness, “Does History of Science Treat of The History of Science?”, The Case of Mathematics. History of Science, vol.28, no.2, 1990, p.168.

[１６] Otto Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, 2nd edition, New York: Dover Publications, 1969, p.viii.

[１７] Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, Volume 1, Oxford: The Clarendon Press, 1921, pp.11-13.

[１８]李俨：《中国算学史》，《李俨、钱宝琮科学史全集》第1卷，沈阳：辽宁教育出版社，1998年；钱宝琮：《中国算学史》上编，《李俨、钱宝琮科学史全集》第1卷。

[１９]印度数学早期发展与宗教有关，之后进入数理天文学阶段，再之后方才出现纯数学著作。关于印度古代数学文献和印度数学史研究，可参见Victor Katz, et al., eds., The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. A Sourcebook, Princeton and Oxford: Princeton University Press, 2007, pp.386-479。

[２０] J. L. Berggren, Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, New York: Springer-Verlag, 1986.

[２１]按克莱因的说法，纯数学与应用数学的分野其实是19世纪末开始形成的。参见[美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》第4册，邓东皋译，上海：上海科学技术出版社，2002年，第112-113页。这一时代特征无疑影响到了20世纪的科学史研究，以上提到的这些著作普遍采用了“纯数学—应用数学”这一分析框架，例如George Sarton, The Study of the History of Mathematics, p.101；Otto Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, 2nd edition, p.103; Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, Volume 1, p.vii; J. L. Berggren, Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, p.12。

[２２]关于自然数学化主题的探讨，可参见郝刘祥：《自然的数学化：关于科学革命编史纲领的探讨》，《科学文化评论》2014年第5期；晋世翔：《“自然数学化”与“新实验运动”》，《自然辩证法研究》2015年第8期。也可参见[荷]H·弗洛里斯·科恩：《科学革命的编史学研究》，张卜天译，长沙：湖南科学技术出版社，2012年。由于自然数学化与科学革命密切相关，也有学者认为该过程并非17世纪一蹴而就的，而是一个长期累积的过程。参见Sophie Roux, “Forms of Mathematization (14th-17th Centuries)”, Early Science and Medicine, vol.15, no.4, 2010, pp.319-337。

[２３]伽利略说：“Philosophy is written in this grand book, the universe, which stands continually open to our gaze. But the book cannot be understood unless one first learns to comprehend the language and read the letters in which it is composed. It is written in the language of mathematics, and its characters are triangles, circles, and other geometric figures without which it is humanly impossible to understand a single word of it; without these, one wanders about a dark labyrinth.” Stillman Drake, trans., Discoveries and Opinions of Galileo, New York: Doubleday & Company, 1957, pp.237-238。

[２４]郝刘祥：《自然的数学化：关于科学革命编史纲领的探讨》，《科学文化评论》2014年第5期。

[２５]关于此议题，可参见朱一文：《数学的语言：筭筹与文本——以天元术为中心》，《九州学林》2010年第4期。

[２６]除了文艺复兴时期欧洲数学完成符号化、文本化，随后进入现代数学之外，还有日本和算的例子。在中国宋元数学的基础上，江户时期日本发展出和算，而其第一步也是符号化和文本化，即所谓旁书法。参见李文林：《数学史概论》第2版，北京：高等教育出版社，2002年，第130页；徐泽林译注：《和算选粹》，北京：科学出版社，2008年，第23页。

[２７] Salomon Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton & New Jersey: Princeton University Press, 1966, p.8.

[２８]关于数学表征与数学内容的关系，参见James Robert Brown, Philosophy of Mathematics, New York: Routledge, 2008, pp.93-97; Zhu Yiwen (朱一文), “How do We Understand Mathematical Practices in Non-mathematical Fields? Reflections Inspired by Cases from 12th and 13th Century China ”, Historia Mathematica, vol.52, 2020, pp.12-13。

[２９]关于表征粒度，参见Kenneth Manders, “Diagram Contents and Representational Granularity”, Jerry Seligman, Dag Westerståhl, eds., Logic, Language and Computation, Volume 1, Leland Stanford Junior University: Center for the Study of Language and Information, 1996, pp.389-404。

[３０] Giovanni Ferraro, “Eulerand the Structure of Mathematics”, Historia Mathematica, vol.50, 2020, pp.2-24.

[３１] [美]莫里斯·克莱因：《古今数学思想》第2册，邓东皋译，上海：上海科学技术出版社，2002年，第373-374页。

[３２] Ivor Grattan-Guinness, ed., Landmark Writings in Western Mathematics, 1640-1940, Amsterdam: Elsevier, 2005, pp.292-302.萨顿称之为从数学角度撰写的科学史。参见George Sarton, “Montucla (1725-1799): His Life and Works”, Osiris, no.1, 1936, pp.519-567。

[３３]阿尔都塞批判了当代哲学家和科学家对数学应用性的误解，指出该理解暗示了数学是一种工具、方法、语言或技术，但其实数学是一种理论物理的存在。因此，他认为数学与自然科学不是应用性关系（relation of application），而是构造性关系（relation of constitution）。参见Louis Althusser, Philosophy and the Spontaneous Philosophy of the Scientists, London and New York: Verso, 1990, pp.86-88。这一看法有一定道理，而且印证了数学史与科学史合二为一的判断。

[３４]这就是加里所说现代数学史研究与现代科学史研究是独立开展的原因。参见Jeremy Gray, “History of Mathematics and History of Science Reunited?”, ISIS, vol.102, no.3, 2011, pp.511-517。

[３５] Amir Alexander, “The Skeleton in the Closet. Should Historians of Science Care about the History of Mathematics?”, ISIS, vol.102, no.3, 2011, pp.475-480.

[３６] Ivor Grattan-Guinness, “Does History of Science Treat of The History of Science?”, The Case of Mathematics. History of Science, vol.28, no.2, 1990, p.158.

[３７] [美]G·萨顿：《科学的历史研究》，刘兵、陈恒六、仲维光编译，北京：科学出版社，1990年，第145页。

[３８] Jacqueline Stedall, The History of Mathematics: A Very Short Introduction, New York: Oxford University Press, 2012, Introduction.

[３９]例如，[法]亚历山大·科瓦雷：《牛顿研究》，张卜天译，北京：商务印书馆，2016年，前言。

[４０]关于实作转向，可以参见以下两本书：Theodore R. Schatzki, Karin Knorr Cetina, Eike Von Savigny, eds., The Practice Turn in Contemporary Theory, London and New York: Routledge, 2001; Léna Soler, Sjoerd Zwart, Michael Lynch, Vincent Israel-Jost, Science After the Practice Turn in the Philosophy, History and Social Studies of Science, London and New York: Routledge, 2014。2020年，在意大利博洛尼亚举行第九届欧洲科学史学会年会，其主题即是“科学的视觉、物质和感官文化”（Visual, Material and Sensory Cultures of Sciences），说明这一研究路线已经成为国际科学史界的主流。

[４１]张夏硕：《让科学回归科学史》，储姗姗、杨帆译，孙小淳校，《科学文化评论》2013年第5期。

[４２]关于数学史中辉格解释的分析，可以参见朱一文：《史料与方法：中国数学史研究的新思考》，《自然辩证法通讯》2020年第3期。

[４３] Sebatai Unguru, “On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics”, Archive for History of Exact Sciences, vol.15, no.1, 1975, pp.67-114.

[４４] Eleanor Robson, Mathematics in Ancient Iraq: A Social History, New Jersey: Princeton University Press, 2008, Preface.

[４５] Annette Imhausen, Mathematics in Ancient Egypt, 3200 BC- AD 395: A Contextual History, Mainz: Johannes Gutenberg Universität, 2008, p.9.

[４６] Karine Chemla, “Observing Mathematical Practices as a Keyto Mining Our Sources and Conducting Conceptual History: Division in Ancient China as a Case Study”, Léna Soler, Sjoerd Zwart, Michael Lynch, Vincent Israel-Jost, Science After the Practice Turn in the Philosophy, History and Social Studies of Science, pp.238-268.

[４７] Kim Plofker, Mathematics in India, New Jersey: Princeton University Press, 2009; Reviel Netz, A New History of Greek Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 2022.

[４８]朱一文：《算学与经学：中国数学新史》，北京：商务印书馆，2023年。

[４９]该文集包含了11篇从各古代文明、不同时段出发讨论反时代性问题的数学史论文。参见Niccolòed Guicciardini, Anachronisms in the History of Mathematics: Essays on the Historical Interpretation of Mathematics Texts, Cambridge: Cambridge University Press, 2021。笔者认为反辉格主要是指不以现代数学去解释古代数学，而反时代性则是说在数学的发展中总有后人以当时的数学去解释以前的数学。因此，对反时代性的讨论不仅包含了之前关于反辉格的讨论，而且与数学及其历史发展的本质相关，因此超越了先前的反辉格史的研究路径。

[５０]关于该分析框架，参见Zhu Yiwen, “How Do We Understand Mathematical Practices in Non-mathematical Fields? Reflections Inspired by Cases from 12th and 13th Century China ”, Historia Mathematica, vol.52, 2020, pp.1-25。

[５１]数学实在论即柏拉图主义，认为存在一个不随时空转换的数学世界，这是宇宙的本质；反实在论否认存在柏拉图的数学世界，认为其是人为的产物。详细介绍参见[加]安德鲁·欧文编：《爱思唯尔科学哲学手册·数学哲学》，康仕慧译，北京：北京师范大学出版社，2013年。

[５２]这就是陈省身（1911—2004）认为的数学与物理学实际是探索同一个大象的两个不同部分。参见张奠宙：《中国近现代数学的发展》，石家庄：河北科学技术出版社，2000年，第496-497页。

[５３]这就是普特南（Hilary Putnam, 1926—2016）所设想的火星数学，参见Hilary Putnam, Philosophical Papers, Volume 1: Mathematics, Matter and Method, Cambridge: Cambridge University Press, 1975, pp.61-64。

[５４]例如《九章算术》卷一方田术曰：“广纵步数相乘得积步。”所谓步数，即“十五步”之数，也即不带量纲的“十五”。参见郭书春汇校：《汇校〈九章筭术〉增补版》，沈阳：辽宁教育出版社，台北：台湾九章出版社，2004年，第9页。《隋书·律历志》记载开皇历上元积年，云：“一百万八千八百四十筭。” 此处“筭”即相当于“年”。参见[唐]魏征等：《隋书》，北京：中华书局，1973年，第461页。

[５５]例如，中国历法中上元积年的计算需要用到求解一次同余方程组的方法（即所谓中国剩余定理），南宋秦九韶（1208—1268）以算家的角度增图补草对之进行约化处理，称之为“大衍总数术”。秦氏认为历算家“非特置筭繁名，初无定法可传，甚是惑误后学，易失古人之术意。” 对秦氏算法的分析，参见朱一文：《秦九韶“历家虽用，用而不知”解》，《自然科学史研究》2011年第2期；《秦九韶对大衍术的筭图表达——基于〈数书九章〉赵琦美钞本（1616）的分析》，《自然科学史研究》2017年第2期。

[５６]例如《九章算术》首问云：“今有田广十五步，纵十六步。问：为田几何？答：一亩。术曰：广纵步数相乘得积步。” 参见郭书春汇校：《汇校〈九章筭术〉增补版》，第9页。

[５７]例如北周甄鸾撰、唐代李淳风等注释的《五经算术》以传统数学解天文学问题，秦九韶以传统算学重构历家求解上元积年的算法。

[５８]例如美索不达米亚使用60进制，但其相当一部分泥板来自天文学，而古希腊托勒密的天文学也采取60进制原则，那么60进制的产生究竟是与天文学相关，还是数学应用于天文学，这是值得研究的问题。

[５９] Zhu Yiwen, “Another Culture of Computation from 7th Century China ”, Karine Chemla, Agathe Keller, Christine Proust, eds., Cultures of Computation and Quantification in the Ancient World: Numbers, Measurements, and Operations in Documents from Mesopotamia, China and South Asia, Switzerland: Springer, January, 2023, pp.555-602.

[６０] 朱一文：《算学与经学：中国数学新史》。

[６１]这十大误解是：1. 数学方法是演绎的；2. 数学提供确定的知识；3. 数学是累积的；4. 数学论断总是正确的；5. 数学结构精确地反映了其历史；6. 数学证明是没有问题的；7. 关于严谨的标准是没有变化的；8. 数学方法从根本上不同于科学方法；9. 数学承认决定性的证伪；10. 数学方法论的选择是经验主义、形式主义、直觉主义和柏拉图主义。参见Michael J. Crowe, “Ten Misconceptions about Mathematics and Its History”, William Aspray, Philip Kitcher, eds., History and Philosophy of Modern Mathematics, Minneapolis: University of Minnesota Press, 1988, pp.260-270。

[６２]朱一文：《关于数学史的三大误解》，《自然辩证法研究》2022年第11期。

[６３]李俨、杜石然：《中国古代数学简史》，北京：中华书局，1964年，第228-229页。

[６４]参见朱一文：《重审元明之际中国数学的转变》，《中国科技史杂志》2023年第2期；《再论明中前期中国数学的转变》，《中国科技史杂志》2024年第4期。

[６５]关于数学应用性问题与不可或缺论证，参见[加]安德鲁·欧文编：《爱思唯尔科学哲学手册·数学哲学》，第829-845页。

[６６] [加]安德鲁·欧文编：《爱思唯尔科学哲学手册·数学哲学》，第836页。

[６７]这一现象大量出现在19世纪下半叶，即与纯数学与应用数学分野形成同步。如果认为现在没有应用的数学理论迟早会被应用，那么就是一种无法验证的自我安慰，失去了学术讨论的意义。

[６８]这些经验科学主要以材料、机械等工程类学科为代表，实验在这些学科中的重要性实际超过了寻找其背后的数学规律。

以上文章原载于《学术研究》2025年第1期，文章不代表《学术研究》立场。篇幅原因有所删减，未经授权不得转载。

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